數(shù)列{an}中,a1=8,a4=2,且滿足an+2-2an+1+an=0(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)設(shè)bn=(n∈N*),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整數(shù)m,使得任意的n均有Sn總成立?若存在,求出m;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)由an+2-2an+1+an=0⇒{an}是等差數(shù)列.再有a1=8,a4=2找到其公差即可.
(2)利用(1)的結(jié)論對數(shù)列bn=(n∈N*)進行裂項相消求和,找出Sn=b1+b2+…+bn的表達式,再解不等式即可.
解答:解:(1)∵an+2-2an+1+an=0,
∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*).
∴{an}是等差數(shù)列.設(shè)公差為d,
又a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,
∴d=-2.∴an=-2n+10.

(2)bn==
=-),
∴Sn=b1+b2++bn=[(1-)+(-)++(-)]
=(1-)=
假設(shè)存在整數(shù)m滿足Sn總成立.
又Sn+1-Sn=-
=>0,
∴數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞增的.
∴S1=為Sn的最小值,故
即m<8.又m∈N*,
∴適合條件的m的最大值為7.
點評:本題是對等差數(shù)列,裂項相消求和以及不等式的綜合考查.裂項相消求和適用于通項為分式,其分子為常數(shù),分母為某一等差數(shù)列中某兩項的乘積的數(shù)列的求和.
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1
5
,an+an+1=
6
5n+1
,n∈N*,則
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)等于( 。
A、
2
5
B、
2
7
C、
1
4
D、
4
25

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