Question

16．如圖：已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，且AE⊥平面CDE，AD與平面CDE所成角為30°．
（1）求證：AB∥平面CDE；
（2）求三棱錐D-ACE的體積．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)AB∥CD，利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理證明AB∥平面CDE．
（2）證明CD⊥平面ADE，CD⊥DE．通過(guò)體積轉(zhuǎn)化V_D-ACE=V_A-CDE．求解即可．

解答 證明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB?平面CDE，CD?平面CDE，
所以AB∥平面CDE．
（2）因?yàn)锳E⊥平面CDE，AD與平面CDE所成角為30°∴∠ADE=30°∴AE=1
因?yàn)锳E⊥平面CDE，且CD?平面CDE，所以AE⊥CD，
又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD=A，AE，AD?平面ADE，
所以CD⊥平面ADE，又DE?平面ADE，
所以CD⊥DE．
∵$CD=2，DE=\sqrt{3}$．
∴${V_{D-ACE}}={V_{A-CDE}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}2•\sqrt{3}•1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，直線(xiàn)與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．