Question

拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A、B在拋物線上，且∠AFB=

2π

3

，弦AB的中點(diǎn)M在準(zhǔn)線l上的射影為M′，則

|MM′|

|AB|

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)AF=a，BF=b，由拋物線定義得2|MM′|=a+b．再由余弦定理得|AB|²=a²+b²-2abcos

2π

3

，結(jié)合不等式a+b≥2

ab

，求得|AB|的范圍，把|MM′|和|AB|作比可得答案．

解答： 解：如圖，設(shè)AF=a（a＞0），BF=b（b＞0），
由拋物線定義，得2|MM′|=a+b．
在△ABF中，由余弦定理，得
|AB|²=a²+b²-2abcos

2π

3

=a²+b²+ab=（a+b）²-ab，
∵a＞0，b＞0，由基本不等式得：a+b≥2

ab

，
∴ab≤

(a+b)2

4

，
∴|AB|²≥

3

4

（a+b）²，
∴|AB|≥

3

2

（a+b）．
∴

|MM′|

|AB|

≤

3

3

．
∴

|MM′|

|AB|

的最大值為

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)拋物線定義的應(yīng)用和余弦定理的應(yīng)用．訓(xùn)練了基本不等式的用法，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是中檔題．