Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足方程f（x）+（x-3）f（1）=x³+x-4（x∈R）．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，m]上的值域為[2-

2 3

9

，2+

2 3

9

]，試確定m的取值范圍；
（III）記g（x）=f（x）-bx²+（2c+1）x-2，若g'（x）的兩個零點x₁，x₂滿足x₁≠x₂，且x₁，x₂∈[-1，2]，求b+2c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）令x=1，求出f（1）的值，然后代入，即可求出函數(shù)的解析式；
（II）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合圖形可知由f（x）=2+

2 3

9

，解得x的值即可求出m的范圍；
（III）根據(jù)g′（x）=0在[-1，2]上有兩個不等的實根，建立a、b的約束關(guān)系，畫出區(qū)域，根據(jù)線性規(guī)劃的知識可求出b+2c的取值范圍．

解答：解：（I）令x=1得f（1）-2f（1）=-2
解得f（1）=2
∴f（x）=x³-x+2
（II）f′（x）=3x²-1，由f′（x）＞0
解得x＞

3

3

或x＜-

3

3

由f′（x）＞0
解得-

3

3

＜x＜

3

3

∴f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是增函數(shù)，
在（-

3

3

，

3

3

）上是減函數(shù)
f（x）極大值為f（-

3

3

）=2+

2 3

9

f（x）極小值為f（

3

3

）=2-

2 3

9

由f（x）=2+

2 3

9

，解得x=-

3

3

或x=

2 3

3

∴m的取值范圍是[-

3

3

，

2 3

3

]
（III）g（x）=f（x）-bx²+（2c+1）x-2=x³-bx²+2cx
g′（x）=3x²-2bx+2c
依題意g′（x）=0在[-1，2]上有兩個不等的實根
∴

△=4b2-4•3•2c＞0 -1＜- -2b 2×3 ＜2 g′(-1)≥0 g′(2)≥0

畫出（b、c）的可行域
b+2c∈[-

9

2

，18）

點評：本題主要考查了函數(shù)的解析式以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，同時考查了利用線性規(guī)劃求取值范圍，屬于中檔題．