Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+1）e^x
（I）求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（II）若對任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）＞m恒成立，求m的取值范圈．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)f（x）=（x²-3x+1）e^x，求導(dǎo)函數(shù)，可求切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，易寫出切線方程；
（Ⅱ）對任意的x∈（1，+∞），不等式f （x）＞m恒成立可轉(zhuǎn)化為：在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)，f （x）_min＞m，只需通過導(dǎo)數(shù)法求得f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=（x²-3x+1）e^x，∴f（1）=-e，
∴f^′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+1）^x=（x²-x-2）e^xf^′（x）=（x²-x-2）e^x=0，
∴f^′（1）=-2e，
∴y-（-e）=-2e（x-1）
所以函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為：2ex+y-e=0
（II）對任意的x∈（1，+∞），不等式f （x）＞m恒成立
由題意可轉(zhuǎn)化為：在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)，f （x）_min＞m
令f^′（x）=（x²-x-2）e^x=0，解得x=2，
并且當(dāng)x∈（1，2）f^′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（2，+∞）f^′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
即在x=2處，f（x）取到極小值f（2）=-e²且是唯一的極小值，也就是最小值
所以f （x）_min=-e²，
因此所求m的取值范圍是（-∞，-e²）．

點(diǎn)評：本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用好導(dǎo)數(shù)的幾何意義和求區(qū)間的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬難題．