【題目】如圖，梯形中，，矩形所在的平面與平面垂直，且.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若為線段上一點，直線與平面所成的角為，求的最大值.

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).

【解析】

試題

(Ⅰ)由題意結合幾何關系可證得平面，結合面面垂直的判斷定理可得平面平面.

(Ⅱ)由題意建立空間直角坐標系，結合直線的方向向量和平面的法向量可得.

試題解析：

（Ⅰ）證明：如圖，取的中點，連接，

則，所以，從而四邊形為平行四邊形，

所以，從而.

又因為平面平面且平面平面，

所以平面.又平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）解：由于是矩形，所以，

由（Ⅰ）知：平面，

以為坐標原點，分別以為的正方向建立空間直角坐標系，

各點坐標如下：，，，，設點，

平面的法向量為，

則，，

令，得平面的一個法向量為，

所以 ，

當時，，從而.

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相關習題

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【題目】在平面真角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立根坐標系．曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若曲線與曲線交于M，N兩點，直線OM和ON的斜率分別為和，求的值．

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【題目】從某企業(yè)的某種產品中抽取件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這件產品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，記作，）；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認為，這種產品的質量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．

（i）若使的產品的質量指標值高于企業(yè)制定的合格標準，則合格標準的質量指標值大約為多少？

（ii）若該企業(yè)又生產了這種產品件，且每件產品相互獨立，則這件產品質量指標值不低于的件數(shù)最有可能是多少？

附：參考數(shù)據(jù)與公式：，；若，則①；②；③．

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【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程;

（2）設動直線與橢圓有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點，（兩點均不在坐標軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）若，且，則的取值范圍是______.

（2）若，，且，則的取值范圍是______.

（3）已知，且，則的最小值是______.

（4）已知實數(shù)，，若，，且，則的最小值______.

（5）已知實數(shù)，，若，，則的最小值______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當的面積為時，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，，是的中點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若點在線段（不包含端點）上，且直線平面，求線段的長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；

（2）若函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”.若存在實數(shù)，使得對任意的，不等式都成立，求實數(shù)的最大值.

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