Question

已知f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義列出方程恒成立，化簡方程求出m的值，將m的值代入對數(shù)函數(shù)的真數(shù)，驗真數(shù)是否大于0．
（2）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），通過討論a，判斷出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=loga

1- m2x2

1-x2

對定義域內(nèi)的任意x恒成立，
∴

1-m2x2

1-x2

=1，
∴（m²-1）x²=0，m=±1．
當(dāng)m=1時，

1-mx

x-1

=-1，函數(shù)無意義，
∴m=-1．
（2）由（1）知，f（x）=log_a

x+1

x-1

，∴定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
求導(dǎo)得f′（x）=

-2

x2-1

lna
①當(dāng)a＞1時，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）與（1，+∞）內(nèi)都是減函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜1時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，-1）與（1，+∞）上都是增函數(shù)．

點評：本題考查奇函數(shù)的定義、考查通過導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性．