Question

關于x的方程cosx-lg|x|=0的根的個數(shù)（　�。�

A．1

B．2

C．4

D．6

Answer 1

分析：在同一坐標系內作出y=cosx與y=lg|x|的圖象，研究兩個圖象交點的個數(shù)即可得到原方程根的個數(shù)．利用根的存在性定理和余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，分析出當x≥0時兩個圖象有3個不同的交點，再結合兩個函數(shù)都為偶函數(shù)可得原方程有6個實數(shù)根．

解答：解：原方程即cosx=lg|x|，在同一坐標系內作出y=cosx與y=lg|x|的圖象

由于兩個函數(shù)均為偶函數(shù)，因此方程的根必定為偶數(shù)，只須研究當x≥0時的圖象
∵x≥0時，cos

π

3

=

1

2

＞lg

π

3

，且cosπ=-1＜lgπ
∴在區(qū)間[0，π]上，兩個圖象有一個交點
又∵當x∈（π，3π）時，lgx∈（0，1），
而cosx在（π，2π）上為增函數(shù)，在（2π，3π）上為減函數(shù)，最大值為1
∴在區(qū)間（π，3π）上，兩個圖象有兩個交點
而當x≥3π時，易得在[3π，10]上兩個圖象沒有交點
由于在區(qū)間（10，+∞）上，lgx＞1恒成立而cosx≤1，兩個圖象也沒有交點
∴兩圖象在x≥3π時沒有交點．
綜上所述，當x≥0時，y=cosx與y=lg|x|的有3交點，得cosx=lg|x|有三個不同的根
結合兩個函數(shù)均為偶函數(shù)，得當x＜0時，cosx=lg|x|也有三個不同的根，故方程cosx-lg|x|=0的根的個數(shù)為6
故選：D

點評：本題給出關于余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的一個方程，討論方程根的個數(shù)．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質、根的存在性定理和對數(shù)、三角函數(shù)值的計算等知識，屬于中檔題．