設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）求橢圓C的離心率； 
（2）若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）欲求橢圓C的離心率，只需得到關(guān)于a，c的齊次式，由
F2A
⊥
AQ
，2
F1F2
+
F2Q
=
0
，以及b2=a2-c2，就可得到a，c的齊次式，求出橢圓C的離心率．
（2）先求出過A、Q、F2三點的圓的圓心坐標(biāo)以及半徑，再根據(jù)圓恰好與直線x-
3
y-3=0相切，求出參數(shù)的值，
就可得到橢圓C的方程．
解答： 解：（1）設(shè)Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）知
F2A
=(-c，b)，
AQ
=(x0，-b)．
∵
F2A
⊥
AQ
，
∴-cx0-b2=0，故x0=-
b2
c
，
由于2
F1F2
+
F2Q
=
0
，即F1為F2Q中點．
故-
b2
c
+c=-2c，
∴b2=3c2=a2-c2，
∴橢圓的離心率e=
1
2
；
（2）由（1）知
c
a
=
1
2
得c=
1
2
a，于是F2（
1
2
a，0），Q（-
3
2
a，0），
△AQF的外接圓圓心為F1（-
1
2
a，0），半徑r=
1
2
|FQ|=a
∴
|-
1
2
a-3|
2
=a，解得a=2，
∴c=1，b=
3
，
∴所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
點評：本題考查了橢圓離心率，方程的求法，以及直線與圓位置關(guān)系的判斷，考查向量知識的運用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

根據(jù)三個函數(shù)f（x）=2x，g（x）=2x，h（x）=log2x給出以下五句話：
（1）f（x），g（x），h（x）在其定義域上都是增函數(shù)；
（2）f（x）的增長速度始終不變；
（3）f（x）的增長速度越來越快；
（4）g（x）的增長速度越來越快；
（5）h（x）的增長速度越來越慢．
其中正確的個數(shù)為（　　）
A、2B、3C、4D、5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，其對邊分別為a、b、c，若
m
=(cosB，sinB)，
n
=(cosC，-sinC)，且
m
•
n
=
1
2
．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2
3
， b+c=4，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
2
2
，A1，A2分別是橢圓C的左、右兩個頂點，點F是橢圓C的右焦點．點D是x軸上位于A2右側(cè)的一點，且滿足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2．
（1）求橢圓C的方程以及點D的坐標(biāo)；
（2）過點D作x軸的垂線n，再作直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點P，直線l交直線n于點Q．求證：以線段PQ為直徑的圓恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x的焦點是F，準(zhǔn)線是l，過焦點的直線與拋物線交于不同兩點A，B，直線OA（O為原點）交準(zhǔn)線l于點M，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求證：y1y2是一個定值；
（2）求證：直線MB平行于x軸．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個項點到兩個焦點的距離分別是9和1
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C上一點P到兩焦點的距離之積為m，求當(dāng)m取最大值時，P點的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定曲線Γ：（5-m）x2+（m-2）y2=8，（m∈R）．
（1）若曲線Γ是焦點為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）的雙曲線，求實數(shù)m的值；
（2）當(dāng)m=4時，記M是橢圓Γ上的動點，過橢圓長軸的端點A作AQ∥QM（O為坐標(biāo)原點），交橢圓于Q，交y軸于P，求
AQ•AP
OM2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2．橢圓上兩點A、B滿足：△ABF2的周長為8，點F1在邊AB上，cos∠ABF2=
3
5
，|BF2|=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點P為橢圓的右頂點，直線l：y=kx+m與橢圓C交于兩點M，N（M，N不是左右頂點），且
PM
⊥
PN
．試說明：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在下列命題中：
（1）x＞3且y＞6是x+y＞9的充要條件；
（2）命題“若x∈A∪B，則x∈A”的逆命題與逆否命題；
（3）命題“若x＜-3，則|x-1|＞3”的否命題與逆否命題；
（4）?x∈R，?y∈R，使x+y=0．
是真命題的序號為：
 
．

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同步練習(xí)冊答案