Question

已知函數(shù)f（x）及其導數(shù)f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），則稱x₀是f（x）的一個“巧值點”，下列函數(shù)中，有“巧值點”的是

①③⑤

．（填上正確的序號）
①f（x）=x²，
②f（x）=e^-x，
③f（x）=lnx，
④f（x）=tanx，
⑤f（x）=x+

1

x

．

Answer 1

分析：分別求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)條件f（x₀）=f′（x₀），確實是否有解即可．

解答：解：①中的函數(shù)f（x）=x²，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），則x²=2x，解得x=0或2，可見函數(shù)有巧值點；
對于②中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則e^-x=-e^-x，由對任意的x，有e^-x＞0，可知方程無解，原函數(shù)沒有巧值點；
對于③中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則lnx=

1

x

，由函數(shù)f（x）=lnx與y=

1

x

的圖象它們有交點，因此方程有解，原函數(shù)有巧值點；
對于④中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則tanx=

1

cos2x

，即sinxcosx=1，顯然無解，原函數(shù)沒有巧值點；
對于⑤中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則x+

1

x

=1-

1

x2

，即x³-x²+x+1=0，設函數(shù)g（x）=x³-x²+x+1，g'（x）=3x²-2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
顯然函數(shù)g（x）在（-1，0）上有零點，原函數(shù)有巧值點．
故答案為：①③⑤．

點評：本題主要考查導數(shù)的應用，以及函數(shù)的方程的判斷，考查學生的運算能力．