Question

給出下列四個(gè)命題：
①f(x)=sin(2x-

π

4

)的對(duì)稱軸為x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z；
②函數(shù)f(x)=sinx+

3

cosx的最大值為2；
③函數(shù)f（x）=sinx•cosx-1的周期為2π；
④函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

4

)在[0，

π

2

]上的值域?yàn)?span id="g9r16gn" class="MathJye">[-

2

2

，

2

2

]．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：考查 f(x)=sin(2x-

π

4

)的對(duì)稱性可得①正確．利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)=sinx+

3

cosx 的解析式為2sin（x+

π

3

），其最大值等于2，故②正確．根據(jù)函數(shù)f（x）=

1

2

sin2x-1的周期為T=π，故③不正確．根據(jù)

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，可得函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

4

)在[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇-

2

2

，1]，故④不正確．

解答：解：由2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，解得 x=

k

2

•π+

3π

8

，k∈z，故 f(x)=sin(2x-

π

4

)的對(duì)稱軸為 x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z，故①正確．
由于函數(shù)f(x)=sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），其最大值等于2，故②正確．
由于函數(shù)f（x）=sinx•cosx-1=

1

2

sin2x-1，它的周期為T=

2π

2

=π，故③不正確．
由 0≤x≤

π

2

 可得

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，故當(dāng)2x+

π

4

=

5π

4

時(shí)，f(x)=sin(2x+

π

4

)有最小值-

2

2

，
故當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

時(shí)，f(x)=sin(2x+

π

4

)有最大值1，故 函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

4

)在[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇-

2

2

，1]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域、周期性，奇偶性和對(duì)稱性，判斷命題的真假，屬于中檔題．