Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，，滿足，.

(1)求，的值；

(2)若各項為正的數(shù)列的前項和為，且有，設(shè)，求數(shù)列的前項和；

(3)在(2)的條件下，證明：.

 

Answer 1

【答案】

(1)，

(2)

(3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)的思想來分析函數(shù)單調(diào)性，進而得到證明。

【解析】

試題分析：解：(1)由 ，

由代入可得，且.……………………………………………………2分

當時，（成立），當時，（舍去）.

所以，.…………………………………………………………………………4分

(2)，即.

時， .

所以，當時，由可得，

整理得，.

又得，且，

所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即，.

. ………………………………………………………………………………7分

，

，

由上兩式相減得 .

. ……………………………………………………………………10分

(3)由(2)知，只需證.設(shè)(且).

則，

可知在上是遞減，.

由，則，

故. …………………………………………………………………………14分

考點：數(shù)列的通項公式與前n項和的運用。

點評：解決數(shù)列與函數(shù)與不等式的綜合試題，是高考中�？嫉闹�識交匯點試題，熟練掌握錯位相減法求和，屬于中檔題。