Question

如圖，已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D為AB的中點，A₁D⊥AB₁，且AC=BC，
（1）求證：A₁C⊥AB₁；
（2）若CC₁到平面A₁ABB₁的距離為1，AB1=2

6

，A1D=2

3

，求三棱錐A₁-ACD的體積；
（3）在（2）的條件下，求點B到平面A₁CD的距離．

Answer 1

分析：（1）在△CAB中，先證明A₁D是A₁C在平面ABB₁A上的射影，根據(jù)AB₁⊥A₁D，由三垂線定理可得 A₁C⊥AB₁ ．
（2）先求出求得AA1=2

2

，AD=2，由V三棱錐A1-ACD=

1

3

•(

1

2

AD•CD)•AA1 運算求得結果．
（3）由題意得點B到平面A₁CD的距離為點A到平面A₁CD的距離，過A作AH⊥A₁D于H，可得AH⊥面ADC，AH即為所求，
根據(jù)AH=

AD•AA1

A1D

 運算求得結果．

解答：解：（1）證明：在△CAB中，因為AC=BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB．
又∵面ABB₁A₁⊥面ABC，且面ABB₁A∩面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB₁A₁，∴A₁D是A₁C在平面ABB₁A上的射影．
∵AB₁⊥A₁D，由三垂線定理可得 A₁C⊥AB．
（2）由（1）知CD=1，在Rt△AA₁D及Rt△AA₁B中，由A1D=2

3

，AB1=2

6

，可求得AA1=2

2

，AD=2．
∴V三棱錐A1-ACD=

1

3

•(

1

2

AD•CD)•AA1=

1

6

×2×1×2

2

=

2 2

3

．
（3）∵AB與平面A₁DC相交于點D，且D為AB的中點，∴點B到平面A₁CD的距離為點A到平面A₁CD的距離，
過A作AH⊥A₁D于H，∵面ADA₁⊥面A₁DC，∴AH⊥面ADC，∴AH即為所求．
在Rt△AA₁D中，AA1=2

2

，AD=2，A1D=2

3

，∴AH=

AD•AA1

A1D

=

2×2 2

2 3

=

2

3

6

，
∴點B到平面A₁CD的距離為

2

3

6

．

點評：本題考查證明線線垂直的方法，求三棱錐的體積，求點到平面的距離的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．