設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+
π
6
)+cos2x+
3
sinxcosx.
(1)已知x∈[0,
π
2
],求函數(shù)f(x)的值域;
(2)設(shè)A,B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角,若cosB=
1
3
,f(
C
2
)=
5
2
,求sinA.
考點(diǎn):三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的余弦函數(shù)
專題:計(jì)算題,三角函數(shù)的求值
分析:(1)化簡f(x)=2sin(2x+
π
6
)+
1
2
,由于x∈[0,
π
2
],2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
],所以函數(shù)f(x)的最大值是
5
2
,函數(shù)f(x)的最小值是-
1
2
,即可求出值域.
(2)f(
c
2
)=2sin(C+
π
6
)+
1
2
=
5
2
,所以sin(C+
π
6
)=1,又C為△ABC的內(nèi)角 所以C=
π
3
,又因?yàn)樵凇鰽BC中,cosB=
1
3
,所以sinB=
2
3
3
,所以sinA的值為
2
2
+
3
6
解答: 解:(1)f(x)=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+
1+cos2x
2
+
3
2
sin2x
=
3
sin2x+cos2x+
1
2

=2sin(2x+
π
6
)+
1
2

x∈[0,
π
2
],2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
],
所以函數(shù)f(x)的最大值是
5
2
,函數(shù)f(x)的最小值是-
1
2

故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-
1
2
,
5
2
].
(2)f(
c
2
)=2sin(C+
π
6
)+
1
2
=
5
2
,所以sin(C+
π
6
)=1,
又C為△ABC的內(nèi)角 所以C=
π
3
,
又因?yàn)樵凇鰽BC 中,cosB=
1
3
,所以sinB=
2
3
3
,所以
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=
2
2
3
×
1
2
+
1
3
×
3
2
=
2
2
+
3
6
點(diǎn)評:本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的余弦函數(shù),學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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|x-1|≤2
x+3
x-2
>0

(1)若a=1,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(2)若¬p是¬q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,每個(gè)側(cè)面均為正方形,D為底邊AB的中點(diǎn),E為側(cè)棱CC1的中點(diǎn).
(1)求證:CD∥平面A1EB;
(2)求證:CD⊥平面A1ABB1

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函數(shù)f(x)=3sin(2x-
π
3
)的圖象為M,下列結(jié)論中正確的是( 。
A、圖象M關(guān)于直線x=
π
6
對稱
B、圖象M關(guān)于點(diǎn)(-
π
6
,0
)對稱
C、f(x)在區(qū)間(-
π
12
,
12
)上遞增
D、由y=3sin2x的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位長度可得M

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已知Sn=4-an-
1
2 n-2
(n∈N*) 則通項(xiàng)公式an=
 

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某工廠用7萬元錢購買了一臺新機(jī)器,運(yùn)輸安裝費(fèi)用2千元,每年投保、動力消耗的費(fèi)用也為2千元,每年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費(fèi)用逐年增加,第一年為2千元,第二年為3千元,第三年為4千元,依此類推,即每年增加1千元.
(Ⅰ)求使用n年后,保養(yǎng)、維修、更換易損零件的累計(jì)費(fèi)用S(千元)關(guān)于n的表達(dá)式;
(Ⅱ)問這臺機(jī)器最佳使用年限是多少年?并求出年平均費(fèi)用(單位:千元)的最小值.(最佳使用年限是指使年平均費(fèi)用最小的時(shí)間,年平均費(fèi)用=(購入機(jī)器費(fèi)用+運(yùn)輸安裝費(fèi)用+每年投保、動力消耗的費(fèi)用+保養(yǎng)、維修、更換易損零件的累計(jì)費(fèi)用)÷機(jī)器使用的年數(shù) )

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(2)若f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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