Question

給定橢圓C：+=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F₂距離為．
（1）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)P（0，m）（m＜0）的直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2，求m的值；
（3）過(guò)橢圓C的“伴橢圓”上一動(dòng)點(diǎn)Q作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線l₁，l₂都有斜率時(shí)，試判斷直線l₁，l₂的斜率之積是否為定值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知：，a=，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓方程為：，；
∴橢圓C的“伴橢圓”方程為：x²+y²=4．
（2）設(shè)直線方程為：y=kx+m
∵截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為，
∴圓心到直線的距離d=，
∵，∴d²=2，∴m²=2（1+k²）．（*）
又得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0，
∵直線l與橢圓相切，
∴△=1+3k²-m²=0，
把（*）代入上式得m²=4，∵m＜0，解得m=-2．
∴m=-2．
（3）設(shè)Q（x₀，y₀），直線y-y₀=k（x-x₀），
由（2）可知，
即，∴，
又∵Q（x₀，y₀）在“伴橢圓”上，∴，∴．
∴k₁k₂=-1為定值．
分析：（1）利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其a、b、c的關(guān)系即可得出橢圓方程，進(jìn)而得到“伴橢圓”的方程；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式、、及直線與橢圓相切的性質(zhì)即可得出；
（3）利用（2）的結(jié)論及點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足“伴橢圓”的方程即可證明．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其a、b、c的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、、及直線與橢圓相切的性質(zhì)、“伴橢圓”的定義是解題的關(guān)鍵．