在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2,E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn),以HF、GE所在直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示).若R、R′分別在線段0F、CF上,且
=
=
.
(Ⅰ)求證:直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓:
+
=1上;
(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點(diǎn),且直線GM與直線GN的斜率之積為
,求證:直線MN過定點(diǎn)
(1)要證明直線的交點(diǎn)是否在橢圓上,首先是求解直線的方程,然后聯(lián)立方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo),加以說明。
(2)
【解析】
試題分析:解:(Ⅰ)∵,∴
,
1分
又 則直線
的方程為
①
2分
又 則直線
的方程為
②
3分
由①②得 4分
5分
∴直線與
的交點(diǎn)
在橢圓
上 6分
(Ⅱ)① 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)
則 ∴
,不合題意
8分
② 當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)
聯(lián)立方程 得
則 ,
10分
又
即
將代入上式得
13分
∴直線過定點(diǎn)
14分
考點(diǎn):直線于橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評:解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線與橢圓的方程,聯(lián)立方程組,以及韋達(dá)定理來得求解,屬于基礎(chǔ)題。
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