Question

已知及是實(shí)數(shù)集，x∈R，平面向量

a

=（1，sin²x-cos²x），平面向量

b

=（cos（2x-

π

3

），1），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（I ）求f（x）的最小正周期；
（II ）設(shè)函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x），求F（x）的值域．

Answer 1

分析：（I ）通過(guò)向量的數(shù)量積，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式得到一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后求f（x）的最小正周期；
（II ）化簡(jiǎn)函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x），通過(guò)配方得到[sin（2x-

π

6

）+

1

2

]²-

1

4

，然后求出函數(shù)的最值，即可求F（x）的值域．

解答：解：（I ）平面向量

a

=（1，sin²x-cos²x），平面向量

b

=（cos（2x-

π

3

），1），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=cos（2x-

π

3

）-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=sin（2x-

π

6

）．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（II ）F（x）=[f（x）]²+f（x）=sin²（2x-

π

6

）+sin（2x-

π

6

）
=[sin（2x-

π

6

）+

1

2

]²-

1

4

當(dāng)sin（2x-

π

6

）=-

1

2

時(shí)，F(xiàn)（x）的最小值為-

1

4

；當(dāng)sin（2x-

π

6

）=1時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值為2．
F（x）的值域?yàn)閇-

1

4

，2]

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，通過(guò)向量的數(shù)量積的應(yīng)用，化簡(jiǎn)三角函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的最值，周期，考查計(jì)算能力，常考題型．