Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-

1

x

（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=-

1

2

x垂直，求切線方程；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=1，且x≥2時(shí)，證明f（x-1）≤2x-5．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值等于2求得a的值，則切點(diǎn)可求，代入直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程；
（2）求出元函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)a≥0時(shí)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)大于0恒成立，當(dāng)a＜0時(shí)求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由零點(diǎn)對(duì)函數(shù)的定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）令g（x）=f（x-1）-（2x-5），求其導(dǎo)函數(shù)，得到g′（x）＜0，則g（x）在[2，+∞）上遞減，從而證得答案．

解答： （1）解：∵f(x)=alnx-

1

x

，
∴f′(x)=

a

x

+

1

x2

．
由已知得f′（1）=a+1=2，則a=1，那么切點(diǎn)為（1，-1）．
故切線方程為y+1=2（x-1），即2x-y-3=0；
（2）解：由于f′(x)=

a

x

+

1

x2

=

ax+1

x2

(x＞0)．
當(dāng)a≥0時(shí)，恒有f′（x）＞0，那么f（x）在（0，+∞）上遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x=-

1

a

．
若x∈(0，-

1

a

)，則f′（x）＞0，那么f（x）在(0，-

1

a

) 遞增．
若x∈(-

1

a

，+∞)，則f′（x）＜0，那么f（x）在(-

1

a

，+∞)遞減；
（3）證明：當(dāng)a=1時(shí)，令g（x）=f（x-1）-（2x-5），
則g(x)=ln(x-1)-

1

x-1

-2x+5．
g′(x)=

1

x-1

+

1

(x-1)2

-2=-

(2x-1)(x-2)

(x-1)2

．
當(dāng)x≥2時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在[2，+∞）上遞減，那么g（x）≤g（2）=0．
故當(dāng)a=1且x≥2時(shí)，f（x-1）≤（2x-5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，是壓軸題．