Question

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，，對(duì)任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又?jǐn)?shù)列a_n滿足，
設(shè)．
（1）在（-1，1）內(nèi)求一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得；
（2）證明數(shù)列f（a_n）是等比數(shù)列，并求f（a_n）的表達(dá)式和的值；
（3）設(shè)，是否存在m∈N⁺，使得對(duì)任意n∈N⁺， 恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=y=可得，=-2，從而可求t
（2）由可令x=y=a_n可得，從而可證，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求f（a_n）；利用等比數(shù)列的求和公式可求
（3）用等比數(shù)列的求和公式可求，代入可求，由c_n 是遞減數(shù)列，可得，只須，解不等式可求m的最小正數(shù)值
解答：解：（1）令x=y=可得，=-2
∵=-2∴t=
（2）∵
令x=y=a_n可得，
∴數(shù)列{f（a_n）}是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列
∴f（a_n）=-2^n-1
=-（）
==
∴．
（3）由（2）得，=-（）
∴，∴c_n 是遞減數(shù)列，
∴，只須，
即4log₂²m-12log₂m-7＞0，
解可得，或
∴≈0.71或，m≈11.31
∴當(dāng)m≥12，且m∈N^* 時(shí)，7c_n＜6log₂²m-18log₂m 對(duì)任意n∈N^* 恒成立，
∴m 的最小正整數(shù)值為12．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了借、借助抽象函數(shù)的關(guān)系求解數(shù)列的項(xiàng)及通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)函數(shù)關(guān)系合理的賦值，還考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式及數(shù)列單調(diào)性求數(shù)列最值的應(yīng)用，綜合的知識(shí)較多．