Question

對于任意的實數(shù)a、b，記max{a，b}=

a(a≥b) b(a＜b)

．設(shè)F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中g(shù)（x）=

1

3

x，y=f（x）是奇函數(shù)．當(dāng)x≥0時，y=f（x）的圖象與g（x）的圖象如圖所示．則下列關(guān)于函數(shù)y=F（x）的說法中，正確的是（　�。�

A．y=F（x）有極大值F（-1）且無最小值

B．y=F（x）為奇函數(shù)

C．y=F（x）的最小值為-2且最大值為2

D．y=F（x）在（-3，0）上為增函數(shù)

Answer 1

分析：先由圖象觀察求出當(dāng)x＞0時的表達(dá)式f（x）=a（x-1）²-2，其中a＞0，不妨取a=1；因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以當(dāng)x=0時，f（0）=0；當(dāng)x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（x+1）²+2．因此，f(x)=

(x-1)2-2 ，當(dāng)x＞0時 0，  當(dāng)x=0時 -(x+1)2+2，  當(dāng)x＜0時

，分別畫出y=f（x）及y=g（x）的圖象，即可得出函數(shù)y=F（x）的圖象及表達(dá)式，進(jìn)而可求出函數(shù)y=F（x）的有關(guān)性質(zhì)．

解答：解：當(dāng)x＞0時，由圖象可知：函數(shù)y=f（x）是二次函數(shù)的一部分，并且知道頂點為（1，-2），不妨取a=1，可得f（x）=（x-1）²-2；
∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-（x+1）²+2；易知f（0）=0；
∴f(x)=

(x-1)2-2 ，當(dāng)x＞0時 0，  當(dāng)x=0時 -(x+1)2+2，  當(dāng)x＜0時

分別畫出y=f（x）及y=g（x）的圖象，
①當(dāng)x＞0時，由(x-1)2-2=

1

3

x，解得x=

7+ 85

6

；
②當(dāng)x＜0時，由-(x+1)2+2=

1

3

x，解得x=

-7- 85

6

；
由F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），可得函數(shù)F（x）的圖象及表達(dá)式
F（x）=

(x-1)2-2  ，當(dāng)x＞ 7+ 85 6 時 1 3 x  ，當(dāng)0≤x≤ 7+ 85 6 或x≤ -7- 85 6 時 -(x+1)2+2  ，當(dāng) -7- 85 6 ＜x＜0時

，
1°當(dāng)x＞

7+ 85

6

時，顯然F（x）=（x-1）²-2單調(diào)遞增，故此時無最大值；
2°當(dāng)0≤x≤

7+ 85

6

時，F(xiàn)（x）=

1

3

x單調(diào)遞增，所以0≤F(x)≤

7+ 85

18

；
3°當(dāng)

-7- 85

6

＜x＜0時，F(xiàn)（x）=-（x+1）²+2，有F^′（x）=-2x-2，令F^′（x）=0，則x=-1，易知，當(dāng)x=-1時，F(xiàn)（x）有極大值F（-1）；
4°當(dāng)x≤

-7- 85

6

時，F(xiàn)（x）=

1

3

x單調(diào)遞增，故F（x）≤

-7- 85

18

．

綜上可知：y=F（x）既無最大值，也無最小值，但有極大值F（-1），而在(-

7+ 85

6

，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，0]上單調(diào)遞減．
故應(yīng)選A．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想方法．