Question

已知函數(shù)y=f（x）=4^x-a•2^x+1+1（a∈R），x∈[0，2]，求y=f（x）的最小值．（用a表示）

Answer 1

解：f（x）=4^x-a•2^x+1+1=（2^x）²-2a•2^x+1，
令t=2^x，因?yàn)閤∈[0，2]，所以t∈[1，4]，
所以y=g（t）=t²-2at+1（1≤t≤4），
對(duì)稱軸為t=a，
①當(dāng)a＜1時(shí)，y=g（t）在[1，4]上單調(diào)遞增，故y_min=g（1）=1-2a+1=2-2a；
②當(dāng)1≤a≤4時(shí)，y=（t-a）²+1-a²，；
③當(dāng)a＞4時(shí)，y=g（t）在[1，4]上單調(diào)遞減，y_min=g（4）=16-8a+1=17-8a；
綜上所述，．
分析：令t=2^x，則可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=g（t）=t²-2at+1（1≤t≤4），對(duì)a進(jìn)行分類討論即可解得．
點(diǎn)評(píng)：通過換元，對(duì)原函數(shù)進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題是解決本題的關(guān)鍵所在．