Question

下列四個判斷：
①?x∈R，x²-x+1≤0；
②已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，σ²），P（X≤6）=0.72，則P（X≤0）=0.28；
③已知（x²+

1

x

）ⁿ的展開式的各項系數(shù)和為32，則展開式中x項的系數(shù)為20；
④

∫

1 0

1-x2

dx＞

∫

e 1

1

x

dx
其中正確的個數(shù)有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①由x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，可得不存在x∈R，x²-x+1≤0；
②由于隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，σ²），P（X≤6）=0.72，利用對稱性可得P（X≤0）=P（X＞6）
=1-0.72=0.28；
③（x²+

1

x

）ⁿ的展開式的各項系數(shù)和為32，取x=1，則2ⁿ=32，解得n=5．由通項公式Tr+1=

C

r 5

(x2)5-r(

1

x

)r=

C

r 5

x10-3r，令10-3r=1，解得r即可得出；
④由

∫

1 0

1-x2

dx=

1

2

×π×12=

π

2

，

∫

e 1

1

x

dx=lnx

|

e 1

=1，即可判斷出．

解答： 解：①∵x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，因此不存在x∈R，x²-x+1≤0，不正確；
②∵隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，σ²），P（X≤6）=0.72，∴P（X≤0）=P（X＞6）=1-0.72=0.28；
③（x²+

1

x

）ⁿ的展開式的各項系數(shù)和為32，取x=1，則2ⁿ=32，解得n=5．由通項公式Tr+1=

C

r 5

(x2)5-r(

1

x

)r=

C

r 5

x10-3r，令10-3r=1，解得r=3，∴展開式中x項的系數(shù)=

C

3 5

=10，因此不正確；
④∵

∫

1 0

1-x2

dx=

1

2

×π×12=

π

2

，

∫

e 1

1

x

dx=lnx

|

e 1

=1，∴

∫

1 0

1-x2

dx＞

∫

e 1

1

x

dx正確．
其中正確的個數(shù)有2個．
故選：B．

點評：本題中考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、正態(tài)分布的性質(zhì)、二項式定理、定積分的計算，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．