Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)是a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=2S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=a_n+3（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=log₂b_n，若存在常數(shù)k，使不等式恒成立，求k的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1））∵S_n+1=2S_n+3n+1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，兩式相減得a_n+1=2a_n+3，從而b_n+1=a_n+1+3=2（a_n+3）=2b_n（n≥2），由此可以導(dǎo)出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由題意知c_n=log₂b_n=log₂4×2^n-1=log₂2ⁿ⁺¹，再用均值不等式進(jìn)行求解．
解答：解：（1）∵S_n+1=2S_n+3n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，兩式相減得a_n+1=2a_n+3，從而b_n+1=a_n+1+3=2（a_n+3）=2b_n（n≥2），
∵S₂=2S₁+3+1，
∴a₂=a₁+4=5，可知b₂≠0．
∴．
∴，又．
∴數(shù)列{b_n}是公比為2，首項(xiàng)為4的等比數(shù)列，
因此b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
（2）據(jù)（1）c_n=log₂b_n=log₂4×2^n-1=log₂2ⁿ⁺¹=n+1=，（當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí)取等號(hào)）．
恒成立，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意均值不等式的合理運(yùn)用．