Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知BC=1，∠BCC₁=，BB₁=2．
（1）求證：平面AC₁B⊥平面ABC；
（2）試在棱CC₁（不包含端點C，C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明平面AC₁B⊥平面ABC，先證明C₁B⊥平面ABC，根據(jù)本題條件，需要證明BC₁AB⊥，由AB⊥側(cè)面BB₁C₁C就可以解決；而要證明C₁B⊥BC，則需要通過解三角形來證明．
（2）要確定E點的位置，使得EA⊥EB₁，由三垂線定理，必有BE⊥B₁E，通過解直角三角形BEB₁解決．
解答：（1）證明：在△BCC₁中，
∵BC=1，B₁C=BB₁=2，∠BCC₁=，
∴BC₁==，
∴∠CBC₁=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，BC₁?面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC，
∵BC₁?平面AC₁B，
∴平面AC₁B⊥平面ABC．
（2）解：如圖1，EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，
從而B₁E⊥平面ABE，且BE?平面ABE，故BE⊥B₁E，
不妨設(shè)CE=x，則C₁E=2-x，則BE²=1+x²-x，
又∵∠B1C1C=π，∴B₁E²=1+x²+x，
在Rt△BEB₁中有x²+x+1+x²-x+1=4，從而x=±1（舍負(fù)），
故E為CC₁的中點時，EA⊥EB₁．
點評：本題考查線面垂直、線線垂直、二面角的求法，是立體幾何常考的問題，對于本題，通常的幾何推導(dǎo)、向量法都不好用，而選擇使用計算來證明線線關(guān)系，也是常用的證明方法之一，要根據(jù)條件適當(dāng)選擇．