Question

6．己知f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）若f（x）=$\frac{3}{2}$，求cos（$\frac{2π}{3}$-x）的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個(gè)單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）-k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先化簡(jiǎn)求得f（x）的解析式，由已知可求得a的值，從而可求cos（$\frac{2π}{3}$-x）的值；
（2）先求得y=g（x）-k的解析式，從而可求g（x）的值域，由函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有交點(diǎn)，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）∵f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得：sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1，
∴可得：$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴cos（$\frac{2π}{3}$-x）=cos（$\frac{2π}{3}$-4kπ-$\frac{2π}{3}$）=cos（4kπ）=1．…（5分）
（2）∵將函數(shù)y=f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)解析式為：y=g（x）=sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）]+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴則y=g（x）-k=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$-k，
∵x∈[0，$\frac{7π}{3}$]，可得：-$\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≤π，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴0≤sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，…（8分）
∴若函數(shù)y=g（x）-k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有零點(diǎn)，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有交點(diǎn)，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[0，$\frac{3}{2}$]…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基本知識(shí)的考查．