Question

【題目】已知函數(shù).

(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在極小值；

(Ⅲ)請(qǐng)直接寫出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn) ；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

(1) 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線的方程；(2)，說明有可變零點(diǎn)即可；(3)由題意可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1）的定義域?yàn)?/span>

因?yàn)?/span>

所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為

因?yàn)?/span>

所以切線的斜率，

所以切線的方程為

（2）方法一：

令

因?yàn)?/span>且，

所以，，

從而得到在上恒成立

所以在上單調(diào)遞增且，

所以在上遞減，在遞增；

所以時(shí)，取得極小值，問題得證

方法二：

因?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ，所以

當(dāng)時(shí)， ，所以

所以在上遞減，在遞增；

所以時(shí)，函數(shù)取得極小值，問題得證.

（3）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn) ；

當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).