Question

定義在R上的函數(shù)f（x）對?x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，若函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，則不等式f（1-x）＜0的解集為（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，+∞）
C．（-∞，0）
D．（-∞，1）

Answer 1

【答案】分析：通過義在R上的函數(shù)f（x）對?x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，得到函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，得到函數(shù)f（x+1）必過原點，f（x+1）=-f（1-x），即可求解
解答：解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）對?x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0
∴（x₁-x₂）與[f（x₁）-f（x₂）]異號
當x₁-x₂＜0時，f（x₁）-f（x₂）＞0；反之亦然
即函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù)
即函數(shù)f（x+1）在R上為單調(diào)減函數(shù)
∵函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)且定義域為R
∴函數(shù)f（x+1）必過原點，故函數(shù)f（x）必過（1，0）
∴x＞1時有，f（x）＜0
又f（1-x）＜0
∴1-x＞1
∴x＜0
故選C
點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義，利用奇函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移的相關(guān)知識進行求解，屬于基礎(chǔ)題．