Question

【題目】已知橢圓與過(guò)其右焦點(diǎn)F（1，0）的直線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A，B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為D，且直線(xiàn)l與直線(xiàn)OD的斜率之積為.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為M，kMA，kMB分別表示直線(xiàn)MA，MB的斜率，求證.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)A，B的坐標(biāo)，代入橢圓中，兩式相減可得直線(xiàn)AB，OD的斜率之積，由題意可得a，b的關(guān)系，再由右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及a，b，c之間的關(guān)系求出a，b的值，求出橢圓的方程；

（2）由（1）可得M的坐標(biāo)，將直線(xiàn)l的方程代入橢圓的方程，求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出直線(xiàn)AM，BM的斜率之和，再由直線(xiàn)AB，OD的斜率之積可證得kAM+kBMkOD.

（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），

將點(diǎn)A，B坐標(biāo)代入橢圓的方程，兩式相減得0，

所以kAB，

因?yàn)?/span>D為AB的中點(diǎn)，所以kOD，

所以kABkOD，

所以，又a2﹣b2＝1，解得：a2＝4，b2＝3，

所以橢圓C的方程為：1.

（2）由（1）可得左頂點(diǎn)M（﹣2，0），由題意設(shè)直線(xiàn)AB的方程：x＝my+1，

聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程：，整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，

所以y1+y2，y1y2，

所以kAM+kBM

m，

因?yàn)?/span>kABkODkOD，所以mkOD，即kAM+kBMkOD.