Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分別為AB，B₁C₁的中點．
（1）求證：MN∥平面AA₁C₁C；
（2）若CC₁=CB₁，CA=CB，平面CC₁B₁B⊥平面ABC，求證：AB⊥平面CMN．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取A₁C₁的中點P，連接AP，NP．證得四邊形AMNP為平行四邊形．再由線面平行的判定定理即可得到；
（2）運用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得證．

解答： 證明：（1）取A₁C₁的中點P，連接AP，NP．
因為C₁N=NB₁，C₁P=PA₁，所以NP∥A₁B₁，NP=

1

2

A₁B₁．   
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，A₁B₁=AB．
故NP∥AB，且NP=

1

2

AB．
因為M為AB的中點，所以AM=

1

2

AB．
所以NP=AM，且NP∥AM．
所以四邊形AMNP為平行四邊形．
所以MN∥AP．                          
因為AP?平面AA₁C₁C，MN?平面AA₁C₁C，
所以MN∥平面AA₁C₁C．             
（2）因為CA=CB，M為AB的中點，所以CM⊥AB．      
因為CC₁=CB₁，N為B₁C₁的中點，所以CN⊥B₁C₁．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，所以CN⊥BC．
因為平面CC₁B₁B⊥平面ABC，平面CC₁B₁B∩平面ABC=BC．CN?平面CC₁B₁B，
所以CN⊥平面ABC．                       
因為AB?平面ABC，所以CN⊥AB．          
因為CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN=C，
所以AB⊥平面CMN．

點評：本題考查線面平行的判定定理和線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理，考查邏輯推理能力，注意定理的條件的全面性，屬于基礎(chǔ)題．