(14分)已知函數(shù),( x>0).
(I)當0<a<b,且f(a)=f(b)時,求證:ab>1;
(II)是否存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[a,b],若存在,則求出a,b的值,若不存在,請說明理由.
(III)若存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域為 [a,b]時,值域為 [ma,mb]
(m≠0),求m的取值范圍.
解析:(I) ∵x>0,∴
∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在上是增函數(shù).
由0<a<b,且f(a)=f(b),
可得 0<a1<b和.
即.
∴2ab=a+b>.……………………………………3分
故,即ab>1.……………………………………4分
(II)不存在滿足條件的實數(shù)a,b.
若存在滿足條件的實數(shù)a,b,使得函數(shù)y=的定義域、值域都是
[a,b],則a>0.
① 當時,在(0,1)上為減函數(shù).
故 即
解得 a=b.
故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.………………………………6分
② 當時,在上是增函數(shù).
故 即
此時a,b是方程的根,此方程無實根.
故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.………………………………8分
③ 當,時,
由于,而,
故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.
綜上可知,不存在適合條件的實數(shù)a,b.………………………………10分
(III)若存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域為[a,b]時,值域為[ma,mb].
則a>0,m>0.
① 當時,由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù),故.此時刻得a,b異號,不符合題意,所以a,b不存在.
② 當或時,由(II)知0在值域內(nèi),值域不可能是[ma,mb],所以a,b不存在.
故只有.
∵在上是增函數(shù),
∴ 即
a, b是方程的兩個根.
即關于x的方程有兩個大于1的實根.……………………12分
設這兩個根為,.
則+=,?=.
∴ 即
解得 .
故m的取值范圍是.…………………………………………14分
科目:高中數(shù)學 來源:2011屆廣東省高三高考全真模擬試卷數(shù)學理卷一 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的最小值;
(2)若,證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011屆北京市西城區(qū)高三二?荚嚴砜茢(shù)學 題型:解答題
((本小題滿分14分)
已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積;
(Ⅱ)若函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點,且極大值與極小值的積為,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省漳州市四地七校高三第四次聯(lián)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知函數(shù)同時滿足如下三個條件:①定義域為;②是偶函數(shù);③時,,其中.
(Ⅰ)求在上的解析式,并求出函數(shù)的最大值;
(Ⅱ)當,時,函數(shù),若的圖象恒在直線上方,求實數(shù)的取值范圍(其中為自然對數(shù)的底數(shù), ).
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年福建省高三模擬考試數(shù)學(理科)試題 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)若為的極值點,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)若在上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若時,方程有實根,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年廣東省高二期末測試數(shù)學(理) 題型:解答題
(本題滿分14分)已知函數(shù)(,實數(shù),為常數(shù)).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若,討論函數(shù)的單調(diào)性.
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