Question

函數f（x）=a^2x-a^x+b 　x∈[-1，2]，若f （0）=1，f （1）=

3

4

，求
（1）f （x）的解析式  
（2）f （x）的值域　
（3）f （x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）直接根據f （0）=1以及f （1）=

3

4

，列出關于a，b的兩個方程，解方程求出a，b即可求f （x）的解析式；
（2）令t=(

1

2

)x，求出t的取值范圍，把問題轉化為二次函數在閉區(qū)間上求值域的問題，比較對稱軸和區(qū)間的位置關系即可得出結論；
（3）令t=(

1

2

)x，求出t的取值范圍，根據二次函數單調性的求法，再結合復合函數的單調性中的同增異減的性質即可得出結論．

解答：解：（1）f（x）=a^2x-a^x+b，x∈[-1，2]
因為f（0）=1，f（1）=

3

4

則

b=1 a2-a+b= 3 4

（2分）
∴

a= 1 2 b=1

∴f(x)=(

1

2

)2x-(

1

2

)x+1，x∈[-1，2]（4分）
（2）設t=(

1

2

)x，t∈[

1

4

，2]．
∴y=t²-t+1=(t-

1

2

)2+

3

4

．
∴當t=

1

2

時，y_min=

3

4

；
當t=2時，y_max=3．
∴函數的值域為：[

3

4

，3]．
（3）令

( 1 2 )x=t∈[ 1 4 ，2] ∴y=t2-t+1，t∈[ 1 4 ，2]

．
由于t=(

1

2

)x為單調遞減函數y=t2-t+1在t∈[

1

4

，

1

2

]單調遞減，在t∈(

1

2

，2]單調遞增（12分）
∴y=(

1

2

)2x-(

1

2

)x+1在[1，2]單調遞增，在[-1，1)單調遞減（14分）

點評：本題是對指數函數知識以及二次函數知識的綜合考查．其中涉及到了復合函數的單調性，復合函數的單調性遵循原則是：兩個函數單調性相同，復合函數為增函數；兩個函數單調性相反，復合函數為減函數；簡單的記法就是“同則增，異則減“．