Question

已知函數(shù)g(x)=

x

lnx

，f(x)=g(x)-ax(a＞0)．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）（1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)g′（x）=

lnx-1

(lnx)2

，得當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，x＞e，當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，0＜x＜1，1＜x＜e，從而g（x）在（0，1），（1，e）遞減，在（e，+∞）遞增，
（Ⅱ）由f′（x）=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，得x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）_max≤0，從而f′（x）=-(

1

lnx

-

1

2

)2+

1

4

-a，故當(dāng)

1

lnx

=

1

2

，即x=e²時(shí)，f′（x）_max=

1

4

-a，得

1

4

-a≤0，于是a≥

1

4

，故a的最小值為

1

4

．

解答： 解：（Ⅰ）由已知函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），
且f（x）=

x

lnx

-ax（a＞0），定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），
函數(shù)g′（x）=

lnx-1

(lnx)2

，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，x＞e，當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，0＜x＜1，1＜x＜e，
∴g（x）在（0，1），（1，e）遞減，在（e，+∞）遞增，
（Ⅱ）∵f（x）在（1，+∞）遞減，
∴f′（x）=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）_max≤0，
∵f′（x）=-(

1

lnx

-

1

2

)2+

1

4

-a，
∴當(dāng)

1

lnx

=

1

2

，即x=e²時(shí)，f′（x）_max=

1

4

-a，
∴

1

4

-a≤0，于是a≥

1

4

，
故a的最小值為

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．