Question

【題目】已知函數(shù) （x＞0，e為自然對數(shù)的底數(shù)），f'（x）是f（x）的導函數(shù)． （Ⅰ）當a=2時，求證f（x）＞1；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)a，使得f'（x）≥x2lnx對一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：當a=2時，f（x）=ex﹣x2 ， 則f'（x）=ex﹣2x， 令 ，則 ，
令f'1（x）=0，得x=ln2，故f'（x）在x=ln2時取得最小值，
∵f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=1；
（Ⅱ）f'（x）=ex﹣ax，
由f'（x）≥x2lnx，得ex﹣ax≥x2lnx對一切x＞0恒成立，
當x=1時，可得a≤e，所以若存在，則正整數(shù)a的值只能取1，2．
下面證明當a=2時，不等式恒成立，
設 ，則 ，
由（Ⅰ）ex＞x2+1≥2x＞x，∴ex﹣x＞0（x＞0），
∴當0＜x＜2時，g'（x）＜0；當x＞2時，g'（x）＞0，
即g（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，
∴ ，
∴當a=2時，不等式恒成立，
所以a的最大值是2
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性zm jk；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到a≤e，問題轉化為證明當a=2時，不等式恒成立，設 ，根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．