Question

函數(shù)y=a^x-4+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上，其中m，n均為正數(shù)，則

1

m

+

2

n

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．

解答：解：∵x=4時(shí)，y=2，
∴函數(shù)y=a^x-4+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（4，2）即A（4，2），
∵點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上，
即4m+2n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，

1

m

+

2

n

=(

1

m

+

2

n

)(4m+2n)=8+

2n

m

+

8m

n

≥16，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2m時(shí)取等號(hào)．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和均值不等式等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了整體代換思想，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．