Question

已知函數(shù)f(x)＝，設(shè)a、b∈R且a≠b，求證：|f(a)－f(b)|＜|a－b|．

Answer 1

答案：
解析：

證法一要證|f(a)－f(b)|＜|a－b|， 　　只要證|－|＜|a－b|， 　　只要證(－)2＜(a－b)2， 　　即證2＋a2＋b2－2＜a2＋b2－2ab， 　　即證1＋ab＜，　�、� 　　當ab≤－1時，①式顯然成立； 　　當ab＞－1時，要證①式成立，只要證(1＋ab)2＜(1＋a2)(1＋b2) 　　只要證2ab＜a2＋b2．　�、� 　　∵a≠b，∴②式成立． 　　故原不等式成立． 　　分析一不等式中含有根號和絕對值符號時，可從求證不等式入手，采用分析法證明． 　　證法二∵|f(a)－f(b)|＝|－| 　�。�＝|a－b|·． 　　∵＞|a|，＞|b|， 　　∴＋＞|a|＋|b|，而|a|＋|b|≥|a＋b|， 　　∴＋＞|a＋b|， 　　∴＜1． 　　又∵a≠b，即|a－b|≠0． 　　∴|a－b|·＜|a－b|， 　　即|f(a)－f(b)|＜|a－b|． 　　分析二：要證明的不等式可進行分子有理化，轉(zhuǎn)化為分式不等式，然后用縮小分母或擴大分子的方法去證明這個不等式．