Question

設函數(shù)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設x∈[1，2]，求f（x）的最小值．

Answer 1

解：∵函數(shù)，
∴．
（1）①當a≤0時，
∵f'（x）≥0，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當a＞0時，由f'（x）=0，得x=a，
∵當0＜x＜a時，f'（x）＜0，
當x＞a時，f'（x）＞0，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（a，+∞），f（x）的遞減區(qū)間為（0，a）．
（2）①當a≤1時，∵f'（x）≥0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴y_min=f（1）=a；
②當a≥2時，∵f'（x）≤0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴；
③當1＜a＜2時，由（1）知：f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞減，
f（x）在（a，+∞）單調(diào)遞增，
∴當x=a時，y_min=f（a）=lna+1．
分析：（1）先求，再根據(jù)a的符號判斷f′（x）的正負，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當a≤1時，由f'（x）≥0和f（x）在[1，2]上單調(diào)性，求y_min；當a≥2時，由f'（x）≤0和f（x）在[1，2]上單調(diào)性，求故y_min；當1＜a＜2時，同樣利用f（x）的單調(diào)性求y_min．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法和函數(shù)最小值的計算，是中檔題．解題時要認真審題，注意導數(shù)的合理運用，注意分類討論思想的靈活運用．