Question

設(shè){a_n}是正數(shù)數(shù)列，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（5）對于數(shù)列{b_n}，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，令b_n=，試求T_n的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（1）把n=1代入遞推公式（a_n+3）可求a₁的值
（2）由，可得
兩式相減結(jié)合a_n＞0的條件整理可得a_n-a_n-1=2，從而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n
（3）由（2）中求出S_n，代入求b_n=，利用裂項(xiàng)求和求出T_n
解答：解：（1）由a₁=S₁=，及a_n＞0，得a₁=3

（2）由
得．∴當(dāng)n≥2時(shí)，

∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴由（1）知，{a_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴a_n=2n+1．

（3）由（2）知S_n=n（n+2）∴，
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=
=
=
點(diǎn)評：本題主要考查由和s_n求a_n，運(yùn)用公式可轉(zhuǎn)化得數(shù)列項(xiàng)之間的遞推關(guān)系；在數(shù)列的求和方法中裂項(xiàng)求和一直是考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn)之一，在運(yùn)用裂項(xiàng)時(shí)，兩項(xiàng)相錯(cuò)k時(shí)，裂項(xiàng)后乘．