Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+7-a

x+1

，a∈R．若對于任意的x∈N^*，f（x）≥4恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：將問題轉(zhuǎn)化為對于任意的x∈N^*，

x2+ax+7-a

x+1

≥4恒成立，即a（x-1）≥-x²+4x-3，分類討論，利用函數(shù)的最值關系即可得到結論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x2+ax+7-a

x+1

，a∈R，對于任意的x∈N^*，f（x）≥4恒成立，
∴對于任意的x∈N^*，

x2+ax+7-a

x+1

≥4恒成立，
即x²+ax+7-a≥4（x+1）恒成立，
∴a（x-1）≥-x²+4x-3，
x=1時，a∈R；
x＞1，x∈N^*，則a≥-x+3，∴a≥-2+3，即a≥1．
∴a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．