Question

設(shè)函數(shù)f（x）=+sinx的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為{x_n}．
（Ⅰ）求數(shù)列{x_n}．
（Ⅱ）設(shè){x_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求sinS_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；令f′（x）＜0，確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而可得f（x）的極小值點(diǎn)，由此可得數(shù)列{x_n}；
（Ⅱ）S_n=x₁+x₂+…+x_n=2π（1+2+…+n）-=n（n+1）π-，再分類(lèi)討論，求sinS_n．
解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得，令f′（x）=0，可得
令f′（x）＞0，可得；
令f′（x）＜0，可得
∴時(shí)，f（x）取得極小值
∴x_n=
（Ⅱ）S_n=x₁+x₂+…+x_n=2π（1+2+…+n）-=n（n+1）π-
∴當(dāng)n=3k（k∈N^*）時(shí)，sinS_n=sin（-2kπ）=0；
當(dāng)n=3k-1（k∈N^*）時(shí)，sinS_n=sin=；
當(dāng)n=3k-2（k∈N^*）時(shí)，sinS_n=sin=-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)與數(shù)列之間的綜合，屬于中檔題．