Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

(2a+1)x2+(a2+a)x．
（1）若函數(shù)h(x)=

f′(x)

x

為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若a≥0，求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和函數(shù)的奇偶性即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出；
（3）對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）∵f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a），
∴h(x)=

x2-(2a+1)x+(a2+a)

x

．
∵h(yuǎn)（x）為奇函數(shù)，
∴f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）為偶函數(shù)，即2a+1=0，
∴a=-

1

2

．
（2）∵f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
令f'（x）=0，得x₁=a+1，x₂=a，
∴f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）f	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴a=1．
（3）∵a＞-1，∴a+1＞0，
當(dāng)a≥1時(shí)，f'（x）≥0對(duì)x∈[0，1]成立，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在x∈（0，a），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在x∈（a，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；
當(dāng)a=0時(shí)，在x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大值f（0）=0；
綜上所述，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在x=1取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
當(dāng)0≤a＜1時(shí)，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、分類討論、函數(shù)的奇偶性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．