Question

曲線y=e^x-1上的點到直線e（x-1）-y-3=0的最短距離是

3

e2+1

．

Answer 1

分析：過點P的切線與直線e（x-1）-y-3=0平行時，兩平行線之間的距離即為曲線上的點到直線的最短距離，由此知過點P的切線的斜率應(yīng)為e，故可建立方程求出點P的坐標，再由點到直線的距離公式求解即可．

解答：解：y'=e^x-1，令y'=e^x-1=e，得x=2，故切點為P（2，e）
點P到直線e（x-1）-y-3=0的距離即為所求的最小距離為：
d=

|e(2-1)-e-3|

e2+1

=

3

e2+1

．
故答案為：

3

e2+1

．

點評：本題考點是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，借且導(dǎo)數(shù)的幾何意義把求曲線上點到直線距離的最小值問題轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)于切點的坐標的方程，求出切點的坐標，靈活轉(zhuǎn)化是求解本題的關(guān)鍵．