已知數(shù)列{an}滿足:{
an
n
}
是公差為1的等差數(shù)列,且an+1=
n+2
n
an
+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
(2)設(shè)bn=
1
4an
(n∈N*
),求證:b1+b2+…+bn<2
n
-1.
分析:(1)由于{
an
n
}
是公差為1的等差數(shù)列,可得
an+1
n+1
-
an
n
=1
,又an+1=
n+2
n
an
+1,化簡可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)bn=
1
4an
=
1
n
=
2
2
n
2
n
+
n-1
=2(
n
-
n-1
)
,從而可利用疊加法求解可得.
解答:解:(1)∵{
an
n
}
是公差為1的等差數(shù)列,∴
an+1
n+1
-
an
n
=1
,∵an+1=
n+2
n
an
+1,∴an=n2;
(2)bn=
1
4an
=
1
n
=
2
2
n
2
n
+
n-1
=2(
n
-
n-1
)
,∴b1+b2+…+bn<=2(1+
2
-1+
3
-
2
+…+
n
-
n-1
)
<2
n
-1.,
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解,考查放縮法及疊加法求和,屬于基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項(xiàng)公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1

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