Question

已知正四面體ABCD的棱長為1，M為AC的中點，P在線段DM上，則（AP+BP）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：多面體和旋轉體表面上的最短距離問題

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：把平面BMD及平面AMD以DM為折線展平，三角形DAM是正三角形的一半，故在平面BMAD中，連接BA，與MD相交于P點，則AP+BP為最短距離，再利用余弦定理即可得出．

解答： 解：由于各棱長均為1的四面體是正四面體
把平面BMD及平面AMD以DM為折線展平，三角形DAM是正三角形的一半
DM=

3

2

，AM=

1

2

，AD=1，BM=

3

2

，BD=1
故在平面BEAD中，連接BA，與MD相交于P點，則AP+BP為最短距離，
在三角形BMD中，根據(jù)余弦定理，
cos∠BMD=

3 4 + 3 4 -1

2• 3 2 • 3 2

=

1

3

，∴sin∠BMD=

2 2

3

，
cos∠DMB=cos（90°+∠BMC）=-sin∠BMC=-

2 2

3

，
∴BA²=BM²+AM²-2BM•AM•cos∠AMB=

3

4

+

1

4

-2•

3

2

•

1

2

•（-

2 2

3

）=1+

6

3

．
故答案為：1+

6

3

．

點評：本題考查棱錐的結構特征，其中把平面BMD及平面AMD以DM為折線展平，是解題的關鍵．