Question

如圖所示，在四面體P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2

34

，F(xiàn)是線段PB上一點(diǎn)，CF=

15

17

34

，點(diǎn)E在線段AB上，且EF⊥PB．
（1）證明：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B-CE-F的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證PB垂直于面CEF，只需PB與面CEF內(nèi)的兩條相交直線垂直，利用勾股定理可證線線垂直；
（2）根據(jù)二面角的定義作出該二面角的平面角，然后通過解直角三角形求解．

解答： 解：（1）證明：∵PA²+AC²=36+64=100=PC²
∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形，
同理可證△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形，故PA⊥平面ABC．
又∵S△PBC=

1

2

|PC||BC|=

1

2

×10×6=30，
而

1

2

|PB||CF|=

1

2

×2

34

×

15 34

17

=30=S△PBC
故CF⊥PB，又已知EF⊥PB，CF∩EF=F，
∴PB⊥平面CEF．
（2）解：由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC，
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE．
在平面PAB內(nèi)，過F作FG垂直AB點(diǎn)于G，則FG⊥平面ABC，EG是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC．
故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角tan∠FEB=

1

tan∠PBA

=

AB

AP

=

10

6

=

5

3

，
即二面角B-CE-F的正切值為

5

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生對二面角，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．