Question

如圖，已知橢圓C：

x2

9

+

y2

5

=1的左頂點、右焦點分別為A、F，右準(zhǔn)線為l，N為l上一點，且在x軸上方，AN與橢圓交于點M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）設(shè)過A，F(xiàn)，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，求PQ的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意及所給圖形，先把點A，F(xiàn)具體，再把點N設(shè)出，利用條件解出t，求出k_AM•k_M若為-1，即可證明；
（2）由題意先設(shè)出圓的方程，在利用圓過A，F(xiàn)，N三點，寫出圓的方程，由于圓與y軸交于P，Q兩點，所以可以令圓的方程中x=0，寫出兩點坐標(biāo)利用兩點間的距離公式進(jìn)而求解．

解答：（1）證明：由已知，A（-3，0），F(xiàn)（2，0），設(shè)N(

9

2

，t) (t＞0)，
則M(

3

4

，

t

2

)在橢圓C：

x2

9

+

y2

5

=1上，得t=

5 3

2

；
∴M(

3

4

，

5 3

4

)，∴kAM=kAN=

5 3 2

9 2 +3

=

3

3

，kMF=

5 3 4

3 4 -2

=-

3

，
∴k_AM•k_MF=-1，即AM⊥MF；
（2）解：設(shè)圓方程為x²+y²+dx+ey+f=0，將A，F(xiàn)，N三點的坐標(biāo)代入得：

9-3d+f=0 4+2d+f=0 81 4 +t2+ 9 2 d+et+f=0

?

d=1 e=-t- 75 4t f=-6

，
∴圓方程為x2+y2+x-(t+

75

4t

)y-6=0，令x=0，得：y²+ey-6=0，
設(shè)P（0，y₁），Q（0，y₂），∴|PQ|=|y1-y2|=

(t+ 75 4t )2+24

≥3

11

，∴PQ的最小值為3

11

．

點評：（1）此問重點考查了利用方程的思想，還考查了利用兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)證明直線垂直；
（2）此問重點考查了利用方程的思想進(jìn)行求解，還考查了利用一元二次函數(shù)求解最值及兩點間的距離公式．