Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若x≥0時(shí)，恒有f（x）≤ax³，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）令，試證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)，再求出f'（x）＞0時(shí)x的范圍；并且求出f'（x）＜0時(shí)x的范圍；進(jìn)而解決單調(diào)性問題．
（II）令g（x）=f（x）-ax³=x-ln（x+）-ax³．則g′（x）=，令h（x）=，求其導(dǎo)數(shù)，下面對(duì)a進(jìn)行分類討論：（1）當(dāng)a≥時(shí)，（2）當(dāng)0＜a＜時(shí)，（3）當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＞0，最后綜合得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（III）在（II）中取a=，則x∈[0，]，時(shí)，x-ln（x+）＞x³，即x³+ln（x+）＜x，令x=（）²ⁿ，利用等比數(shù)列求和公式即可證明結(jié)論．
解答：解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
由于f′（x）=1-≥0，
知f（x）是R上的增函數(shù)．
（II）令g（x）=f（x）-ax³=x-ln（x+）-ax³．
則g′（x）=，
令h（x）=，
則h′（x）=，
（1）當(dāng)a≥時(shí)，h′（x）≤0，從而h（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，因h（0）=0，則x≥0時(shí)，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，進(jìn)而g（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，
注意g（0）=0，則x≥0時(shí)，g（x）≤0，也即f（x）≤ax³，
（2）當(dāng)0＜a＜時(shí)，在[0，]，h′（x）＞0，從而x∈[0，]時(shí)，也即f（x）＞ax³，
（3）當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax³，
綜合，實(shí)數(shù)a的取值范圍[，+∞）．
（III）在（II）中取a=，則x∈[0，]，時(shí)，x-ln（x+）＞x³，即x³+ln（x+）＜x，
令x=（）²ⁿ，則＜（）²ⁿ，
∴
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握求導(dǎo)該生并且利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題．