Question

某企業(yè)科研課題組計(jì)劃投資研發(fā)一種新產(chǎn)品，根據(jù)分析和預(yù)測(cè)，能獲得10萬(wàn)元～1000萬(wàn)元的投資收益．企業(yè)擬制定方案對(duì)課題組進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案為：獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金也不超過(guò)投資收益的20%，并用函數(shù)y=f（x）模擬這一獎(jiǎng)勵(lì)方案．
（Ⅰ）試寫(xiě)出模擬函數(shù)y=f（x）所滿足的條件；
（Ⅱ）試分析函數(shù)模型y=4lgx-3是否符合獎(jiǎng)勵(lì)方案的要求？并說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知中獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金也不超過(guò)投資收益的20%，我們易得到函數(shù)須要滿足的條件；
（II）分析函數(shù)y=4lgx-3的性質(zhì)，并和（I）中的所得的條件進(jìn)行比照，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意，模擬函數(shù)y=f（x）滿足的條件是：
（1）f（x）在[10，1000]上是增函數(shù)；
（2）f（x）≤9；（3）f（x）≤

1

5

x．（Ⅱ）對(duì)于y=4lgx-3，顯然它在[10，1000]上是增函數(shù)，滿足條件（1），
又當(dāng)10≤x≤1000時(shí)，4lg10-3≤y≤4lg1000-3，即y∈[1，9]，從而滿足條件（2）
下面證明：f（x）≤

1

5

x，即4lgx-3≤

1

5

x對(duì)于x∈[10，1000]恒成立．
令g（x）=4lgx-3-

1

5

x（10≤x≤1000），則g′（x）=

4

xlg10

-

1

5

=

20lge-x

5x

∵e＜

10

，∴l(xiāng)ge＜lg

10

=

1

2

∴20lge＜10
∴x≥10
∴20lge-x＜0，∴g′（x）＜0對(duì)于x∈[10，1000]恒成立．
∴g（x）在[10，1000]上是減函數(shù)
∴g（x）在[10，1000]時(shí)，g（x）≤g（10=4lg10-3-

1

5

×10=-1＜0，
即4lgx-3-

1

5

x≤0，即4lgx-3≤

1

5

x對(duì)于x∈[10，1000]恒成立．從而滿足條件（3）．
故函數(shù)模型y=4lgx-3符合獎(jiǎng)勵(lì)方案的要求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)的類(lèi)型，其中分析實(shí)際問(wèn)題，分析出函數(shù)滿足的條件是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．