Question

△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知A=60°，a=7，現(xiàn)有以下判斷：①bc=24，則S_△ABC=6

3

；②若b=

3

，則B有兩解；③b+c不可能等于15；請將所有正確的判斷序號(hào)填在橫線上

①③

．

Answer 1

分析：①由A的度數(shù)求出sinA的值，再由bc的值，利用三角形的面積公式S=

1

2

bc•sinA即可求出三角形ABC的面積，作出判斷；
②由b小于a，根據(jù)大邊對大角，得到B的度數(shù)小于A的度數(shù)，進(jìn)而得到B的范圍，由sinA，b及a的值，利用正弦定理求出sinB的值，判斷即可；
③先假設(shè)b+c=15，可設(shè)b=x，c=15-x，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)于x的方程，根據(jù)根的判別式小于0，得到此方程無解，故b+c不可能為15．

解答：解：①∵A=60°，即sinA=

3

2

，又bc=24，
∴S_△ABC=

1

2

bc•sinA═6

3

，本選項(xiàng)正確；
②∵7＞

3

，即a＞b，
∴A＞B，即B＜60°，
根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

3 × 3 2

7

=

3

14

，
則B只有一解，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③若b+c=15，設(shè)b=x，則c=15-x，
根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，
即49=x²+（15-x）²-x（15-x），
整理得：3x²-45x+176=0，
∵△=45²-12×176=-87＜0，
∴此方程無解，
則b+c不可能為15，本選項(xiàng)正確，
則正確的選項(xiàng)有：①③．
故答案為：①③

點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，一元二次方程解的情況，以及三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．