Question

設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝x²－x，求f(x)在R上的表達式．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)x＜0，則－x＞0，因為當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2－x，所以當(dāng)x＜0時，f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x．因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，即f(－x)＝－f(x)，所以當(dāng)x＜0時，f(x)＝－f(－x)＝－x2－x．又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0． 　　綜上所述，f(x)＝ 　　解法二：任取x∈(－∞，0)，設(shè)P(x，y)是函數(shù)f(x)圖象上的一個點．由于f(x)是奇函數(shù)，所以，其圖象關(guān)于原點對稱．因此P′(－x，－y)必然也是f(x)圖象上的一個點．由于－x＞0，此時P′(－x，－y)必滿足解析式y(tǒng)＝x2－x，則－y＝(－x)2－(－x)，即y＝－x2－x． 　　上式就是點P(x，y)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，即x＜0時f(x)的解析式．當(dāng)x＝0時，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0． 　　所以f(x)＝ 　　點評：(1)本題實質(zhì)上是由函數(shù)f(x)的對稱性，及由函數(shù)在某個區(qū)間上的表達式來求函數(shù)在整個定義域上的表達式，整體思想指導(dǎo)著本題的解題過程．學(xué)生有可能漏掉了自變量為0時的函數(shù)表達式． 　　(2)對定義域含有原點在內(nèi)的奇函數(shù)f(x)，必有f(0)＝0，即定義在R上的函數(shù)f(x)，f(0)＝0是f(x)為奇函數(shù)的必備條件，這一結(jié)論在解題中有重要的應(yīng)用． 　　(3)今后遇到函數(shù)奇偶性這類的問題時，要善于選擇恰當(dāng)?shù)姆椒�，從定義出發(fā)是基本方法．

提示：

已知的是當(dāng)自變量x＞0時的f(x)的表達式，要求f(x)在R上的表達式，那么只要求自變量x≤0時的f(x)的表達式即可．