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f(x)是定義在D上的函數,若對任何實數α∈(0,1)以及D中的任意兩數x1,x2,恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),則稱f(x)為定義在D上的C函數.

(1)試判斷函數f1(x)=x2,中哪些是各自定義域上的C函數,并說明理由;

(2)已知f(x)是R上的C函數,m是給定的正整數,設anf(n),n=0,1,2…,m,且a0=0,am=2m,記Sf=a1+a2+…+am.對于滿足條件的任意函數f(x),試求Sf的最大值;

(3)若f(x)是定義域為R的函數,且最小正周期為T,試證明f(x)不是R上的C函數.

答案:
解析:

  解:(1)是C函數,證明如下:

  對任意實數,

  有

  即

  ∴是C函數.不是C函數,證明如下:

  取,,,

  則

  即.∴不是C函數.  4分

  (2)對任意,取,,R上的C函數,,且

  ∴

  那么

  可證是C函數,且使得都成立,此時

  綜上所述,的最大值為.  9分

  (3)假設R上的C函數.

  若存在,使得

  若,

  記,,則,且

  那么

  這與矛盾.

  若,記,也可得到矛盾.

  ∴上是常數函數,

  又因為是周期為T的函數,所以R上是常數函數,這與的最小正周期為T矛盾.

  所以不是R上的C函數.  14分


練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:北京市海淀區(qū)2008-2009學年度高三年級第一學期期中練習數學文科 題型:044

f(x)是定義在D上的函數,若對D中的任意兩數x1,x2(x1≠x2),恒有,則稱f(x)為定義在D上的C函數.

(1)試判斷函數f(x)=x2是否為定義域上的C函數,并說明理由;

(2)若函數f(x)是R上的奇函數,試證明f(x)不是R上的C函數;

(3)設f(x)是定義在D上的函數,若對任何實數a∈(0,1)以及D中的任意兩數x1,x2,恒有f(ax1+(1-a)x2]≤af(x1)+(1-a)f(x2),則稱f(x)為定義在D上的C函數.已知f(x)是R上的C函數,m是給定的正整數,設an=f(n),n,0,1,2,…,m,且a0=0,am=2m,記Sf=a1+a2+…+am對于滿足條件的任意函數f(x),試求Sf的最大值.

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